Mécanique des fluides Cours et exercices corrigés

Introduction générale La mécanique des fluides est une science de la mécanique appliquée qui concerne le comportement des liquides et des gaz au repos ou en mouvement. Cette branche de la mécanique englobe une variété de problèmes allant de l’étude de l’écoulement sanguin dans des capillaires déformables (vaisseaux sanguins de diamètre de quelques microns) à l’écoulement de pétrole brut dans des conduites de l’ordre du mètre de diamètre avec des longueurs pouvant aller jusqu’à 13 000 km. Les principes de la mécanique des fluides sont nécessaires pour expliquer pourquoi les avions volent et quel est le profil d’aile idéal pour avoir un vol le plus efficace possible en termes de coûts liés au kérosène et de vitesse d’avion alors que les balles de golf à aspérités servent à lancer la balle plus loin grâce au décollement tardif de la couche limite dans le cas d’un écoulement turbulent.

Introduction et concepts fondamentaux 

Mécanique des fluides Cours et exercices corrigés

 Bien que la structure moléculaire des fluides soit très importante afin de distinguer un fluide d’un autre, il n’est pas possible d’étudier le comportement de chaque molécule lorsqu’on essaie de décrire le comportement des fluides au repos ou en mouvement. On considère plutôt la valeur moyenne ou macroscopique de la quantité pour laquelle la moyenne est évaluée sur un petit volume contenant un grand nombre de molécules. Par exemple, lorsqu’on dit que la vitesse en un point donné vaut telle valeur, nous indiquons en fait une vitesse moyenne des molécules prise dans un petit volume entourant le point donné. Ce volume est en fait très petit comparé aux dimensions physiques du système étudié mais très grand comparé à la distance moyenne entre les molécules. Par exemple pour les gaz aux conditions standards, l’espacement entre les molécules est de l’ordre de 10–6 mm et pour les liquides il est de l’ordre de 10–7 mm. Par conséquent, le nombre de molécules par millimètre cube est de l’ordre de 1018 pour les gaz et 1021 pour les liquides. Il est alors clair que le nombre de molécules dans un volume minuscule est très grand et l’idée d’utiliser des valeurs moyennes sur ce petit volume est raisonnable. Nous supposerons donc que toutes les grandeurs du fluide (pression, vitesse…) varient de façon continue dans le fluide, c’est-à-dire que l’on traitera le fluide comme un milieu continu. En revanche, cette hypothèse ne sera plus valide dans le cas des gaz raréfiés que l’on trouve, par exemple, dans les très hautes altitudes. Dans ce cas, l’espacement entre les molécules d’air peut devenir très grand et le concept de milieu continu ne peut plus être valable.

Définition d’une contrainte appliquée sur une surface de volume fluide

Définition d’une contrainte 

Lorsque des solides sont soumis à des contraintes, ils vont initialement se déformer (déformation infinitésimale) mais pas de façon continue comme dans un écoulement. D’autres matériaux comme par exemple de la boue, du goudron, du mastic ou du dentifrice… ne sont pas facilement classifiables puisqu’ils se comportent comme des solides lorsque la contrainte appliquée est petite mais si cette contrainte dépasse une valeur critique, ils s’écoulent comme un fluide. L’étude de telles substances est une science à part appelée rhéologie (voir chapitre 6) et fait partie de la mécanique des fluides dite des fluides complexes. Tous les fluides au repos peuvent être classés suivant leur réponse à cette contrainte tangentielle. Soit une surface élémentaire dA où s’exerce la force F agissant sur cette surface et qui peut être décomposée en une force normale  Fn et une force tangentielle  Ft (voir Figure 1.1).

Définition d’un fluide 

Une question que l’on se pose souvent : quelle est la différence entre un solide et un fluide ? Nous avons en général une idée vague de cette différence. Un solide est « dur » et pas facile à déformer, tandis qu’un fluide est une matière molle et qui peut être facilement déformée (on peut très simplement bouger dans l’air). Mais ces explications des différences entre un solide et un fluide ne sont pas satisfaisantes d’un point de vue scientifique. Si l’on regarde ces matières d’un point de vue moléculaire (voir Figure 1.3), on s’aperçoit que le solide (acier, béton…) a des molécules rapprochées de façon très dense avec des forces de cohésion intermoléculaires très grandes et qui permettent au solide de maintenir sa forme initiale. En revanche, pour des liquides (eau, huile…), les molécules sont plus espacées, les forces intermoléculaires sont plus faibles que dans le cas des solides.

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